The Engel expansion, also called the Egyptian product, of a positive real number  is the unique increasing sequence {a_1,a_2,...}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/EngelExpansion/Inline2.gif" style="height:15px; width:66px" /> of positive integers  such that

The following table gives the Engel expansions of Catalan's constant, e, the Euler-Mascheroni constant , , and the golden ratio .

constant	OEIS	Engel expansion
	A028254	1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, ...
	A028257	1, 2, 3, 3, 6, 17, 23, 25, 27, 73, ...
	A118239	1, 2, 12, 30, 56, 90, 132, 182, ...
	A000027	1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...
	A059193	3, 10, 28, 54, 88, 130, 180, 238, 304, 378, ...
	A053977	2, 7, 13, 19, 85, 2601, 9602, 46268, 4812284, ...
	A054543	2, 2, 2, 4, 4, 5, 5, 12, 13, 41, 110, ...
	A059180	2, 3, 7, 9, 104, 510, 1413, 2386, ...
	A028259	1, 2, 5, 6, 13, 16, 16, 38, 48, 58, 104, ...
	A006784	1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...
	A014012	4, 4, 11, 45, 70, 1111, 4423, 5478, 49340, ...
	A068377	1, 6, 20, 42, 72, 110, 156, 210, ...
	A118326	2, 2, 22, 50, 70, 29091, 49606, 174594, ...

 has a very regular Engel expansion, namely 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... (OEIS A000027). Interestingly, the expansion for the hyperbolic sine  has closed form  for , which means the expansion for the hyperbolic cosine  has the closed form  for . Similarly, the Engel expansion for  is  for , which follows from

REFERENCES:

Engel, F. "Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen." Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg. pp. 190-191, 1913.

Erdős, P. and Shallit, J. O. "New Bounds on the Length of Finite Pierce and Engel Series." Sem. Theor. Nombres Bordeaux 3, 43-53, 1991.

Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 53-59, 2003.

Schweiger, F. Ergodic Theory of Fibred Systems and Metric Number Theory. Oxford, England: Oxford University Press, 1995.

Sloane, N. J. A. Sequences A000027/M0472, A006784/M4475, A014012, A028254, A028257, A028259, A053977, A054543, A059180, A059193, A068377, A118239, and A118326 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Wu, J. "How Many Points Have the Same Engel and Sylvester Expansions?." J. Number Th. 103, 16-26, 2003.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الطبية يقدم الخدمات الصحية والعلاجية لزائري مدينة سامراء

العتبة العباسية المقدسة تقدم خدماتها لزائري مرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام) في سامراء

المجمَع العلمي ووفد وزارة التربية يبحثان سبل التعاون المشترك

قسم الشؤون الفكرية يصدر العدد 192 من مجلة الرياحين للأطفال

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد