المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية
ENGLISH
آخر المواضيع المضافة

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
أضيف حديثاً
تـشكيـل اتـجاهات المـستـهلك والعوامـل المؤثـرة عليـها
2024-11-27
النـماذج النـظريـة لاتـجاهـات المـستـهلـك
2024-11-27
{اصبروا وصابروا ورابطوا }
2024-11-27
الله لا يضيع اجر عامل
2024-11-27
ذكر الله
2024-11-27
الاختبار في ذبل الأموال والأنفس
2024-11-27

وثائقيات
العباءة العربية .. إرث الآباء واعتزاز الأبناء
التاريخ / 20-09-2024

مختارات
النواة الأولى لمدينة القدس
29-1-2016
زواج الخاطف من المخطوفة
17-4-2017
الإقرار
21-6-2016
الرسائل الإعلانية
7-7-2022
الإمام محمّد الجواد ( عليه السّلام ) في سطور
2023-03-26
دراسات طيفية spectroscopy
4-7-2017

BBP-Type Formula  
  
1398   03:36 مساءً   date: 5-3-2020
Author : Adamchik, V. and Wagon, S.
Book or Source : "A Simple Formula for pi." Amer. Math. Monthly 104
Page and Part : ...


Read More
Euler,s Factorization Method
Date: 12-9-2020 605
Copeland-Erdős Constant
Date: 12-3-2020 769
Successive Square Method
Date: 15-1-2020 614

BBP-Type Formula 

A base-b BBP-type formula is a convergent series formula of the type

alpha=sum_(k=0)^infty(p(k))/(b^kq(k))

(1)

where p(k) and q(k) are integer polynomials in k (Bailey 2000; Borwein and Bailey 2003, pp. 54 and 128-129).

Bailey (2000) and Borwein and Bailey (2003, pp. 128-129) give a collection of such formulas. The following extends those compilations to include several additional BBP-type formulas.

pi = sum_(k=0)^(infty)1/(16^k)(4/(8k+1)-2/(8k+4)-1/(8k+5)-1/(8k+6))

(2)
= 1/2sum_(k=0)^(infty)1/(16^k)(8/(8k+2)+4/(8k+3)+4/(8k+4)-1/(8k+7))

(3)
pi^2 = 9/8sum_(k=0)^(infty)1/(64^k)[(16)/((6k+1)^2)-(24)/((6k+2)^2)-8/((6k+3)^2)-6/((6k+4)^2)+1/((6k+5)^2)]

(4)
= 2/(27)sum_(k=0)^(infty)1/(729^k)[(243)/((12k+1)^2)-(405)/((12k+2)^2)-(81)/((12k+4)^4)-(27)/((12k+5)^2)-(72)/((12k+6)^2)-9/((12k+7)^2)-9/((12k+8)^2)-5/((12k+10)^2)+1/((12k+11)^2)]

(5)
ln(9/(10)) = -sum_(k=1)^(infty)1/(10^k·k)

(6)
ln2 = 2/3sum_(k=0)^(infty)1/(9^k(2k+1))

(7)
(ln2)^2 = 1/(32)sum_(k=0)^(infty)[(64)/((6k+1)^2)-(160)/((6k+2)^2)-(56)/((6k+3)^2)-(40)/((6k+4)^2)+4/((6k+5)^2)-1/((6k+6)^2)]

(8)
ln3 = 1/(729)sum_(k=0)^(infty)1/(729^k)((729)/(6k+1)+(81)/(6k+2)+(81)/(6k+3)+9/(6k+4)+9/(6k+5)+1/(6k+6))

(9)
= sum_(k=0)^(infty)1/(4^k(2k+1))

(10)
ln10 = 1/(32)sum_(k=0)^(infty)1/((-64)^k)((64)/(12k+1)+(16)/(12k+2)+8/(12k+4)-(16)/(12k+5)+8/(12k+6)+(12)/(12k+7)-2/(12k+8)+4/(12k+9)+1/(12k+10)-3/(12k+11)-1/(12k+12))

(11)
= 1/2sum_(k=0)^(infty)1/((-4)^k)(6/(4k+1)-3/(4k+3)-1/(4k+4))

(12)
= 1/(16)sum_(k=0)^(infty)1/(16^k)((24)/(4k+1)+(20)/(4k+2)+6/(4k+3)+1/(4k+4))

(13)
= 1/8sum_(k=0)^(infty)1/(16^k)((16)/(8k+1)+8/(8k+2)-8/(8k+3)+4/(8k+4)-4/(8k+5)+2/(8k+6)+2/(8k+7)+1/(8k+8))

(14)
= 2/9sum_(k=0)^(infty)1/(81^k)(9/(4k+1)+2/(4k+2)+1/(4k+3))

(15)
= 2/(729)sum_(k=0)^(infty)1/(6561^k)((729)/(8k+1)+(162)/(8k+2)+(81)/(8k+3)+9/(8k+3)+2/(8k+3)+1/(8k+7))

(16)
pisqrt(2) = sum_(k=0)^(infty)1/((-8)^k)(4/(6k+1)+1/(6k+3)+1/(6k+5))

(17)
= 1/(64)sum_(k=0)^(infty)1/((-512)^k)((256)/(18k+1)+(64)/(6k+3)+(64)/(18k+5)-(32)/(18k+7)-8/(18k+9)-8/(18k+11)+4/(18k+13)+1/(18k+15)+1/(18k+17))

(18)
= 4sum_(k=0)^(infty)(-1)^k(1/(4k+1)+1/(4k+3))

(19)
= 4sum_(k=0)^(infty)(-1)^k(1/(12k+1)+1/(12k+3)-1/(12k+5)-1/(12k+7)+1/(12k+9)+1/(12k+11))

(20)
= sum_(k=0)^(infty)(-1)^k(3/(20k+1)+3/(20k+3)+2/(20k+5)-3/(20k+7)+3/(20k+9)+3/(20k+11)-3/(20k+13)+2/(20k+17)+3/(20k+19))

(21)
= 1/8sum_(k=0)^(infty)1/(64^k)((32)/(12k+1)+8/(2k+3)+8/(12k+5)-4/(12k+7)-1/(12k+9)-1/(12k+11))

(22)
pisqrt(3) = 1/4sum_(k=0)^(infty)1/(64^k)((20)/(6k+1)+6/(6k+2)-1/(6k+3)-3/(6k+4)-1/(6k+5))

(23)
= 1/9sum_(k=0)^(infty)1/(729^k)((81)/(12k+1)-(54)/(12k+2)-9/(12k+4)-(12)/(12k+6)-3/(12k+7)-2/(12k+8)-1/(12k+10))

(24)
= 1/(36)sum_(k=0)^(infty)1/(729^k)((81)/(12k+1)+(27)/(12k+2)-(162)/(12k+3)-9/(12k+4)+(27)/(12k+5)+(24)/(12k+6)-3/(12k+7)+7/(12k+8)+6/(12k+9)+3/(12k+10)-1/(12k+11))

(25)
= 1/9sum_(k=0)^(infty)1/(729^k)((81)/(12k+1)+(189)/(12k+2)+(45)/(12k+4)+(27)/(12k+5)+(24)/(12k+6)-3/(12k+7)+1/(12k+8)+1/(12k+10)-1/(12k+11))

(26)
piln2 = 1/(256)sum_(k=0)^(infty)1/(4096^k)[(4096)/((24k+1)^2)-(8192)/((24k+2)^2)-(26112)/((24k+3)^3)+(15360)/((24k+4)^2)-(1024)/((24k+5)^2)+(9984)/((24k+6)^2)+(11520)/((24k+8)^2)+(2368)/((24k+9)^2)-(512)/((24k+10)^2)+(768)/((24k+12)^2)-(64)/((24k+13)^2)+(408)/((24k+15)^2)+(720)/((24k+16)^2)+(16)/((24k+17)^2)+(196)/((24k+18)^2)+(60)/((24k+20)^2)-(37)/((24k+21)^2)]

(27)
K = sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/((2k+1)^2)

(28)
= 1/(1024)sum_(k=0)^(infty)1/(4096^k)[(3072)/((24k+1)^2)-(3072)/((24k+2)^2)-(23040)/((24k+3)^2)+(12288)/((24k+4)^2)-(768)/((24k+5)^2)+(9216)/((24k+6)^2)+(10368)/((24k+8)^2)+(2496)/((24k+9)^2)-(192)/((24k+10)^2)+(768)/((24k+12)^2)-(48)/((24k+13)^2)+(360)/((24k+15)^2)+(648)/((24k+16)^2)+(12)/((24k+17)^2)+(168)/((24k+18)^2)+(48)/((24k+20)^2)-(39)/((24k+21)^2)]

(29)
Cl_2(1/3pi) = sqrt(3)sum_(k=0)^(infty)[1/((6k+1)^2)+1/((6k+2)^2)-1/((6k+4)^2)-1/((6k+5)^2)]

(30)
= (sqrt(3))/9sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(27^k)[(18)/((6k+1)^2)-(18)/((6k+2)^2)-(24)/((6k+3)^2)-6/((6k+4)^2)+2/((6k+5)^2)].

(31)

where K is Catalan's constant, Cl_2(pi/3) is the hyperbolic volume of the figure eight knot complement, Cl_2(x) is Clausen's integral, and Cl_2(pi/3) is also the hyperbolic volume of the knot complement of the figure eight knot.

Another example is the Dirichlet L-series

L_(-7)(2)=sum_(n=0)^infty[1/((7n+1)^2)+1/((7n+2)^2)-1/((7n+3)^2)+1/((7n+4)^2)-1/((7n+5)^2)-1/((7n+6)^2)]

(32)

(Bailey and Borwein 2005; Bailey et al. 2007, pp. 5 and 62).

Note that this sort of sum is closely related to the polygamma function since, for example, the above sum can also be written

L_(-7)(2)=1/(49)[psi_1(1/7)+psi_1(2/7)-psi_1(3/7)+psi_1(4/7)-psi_1(5/7)-psi_1(6/7)].

(33)

Borwein et al. (2004) have recently shown that pi has no Machin-type BBP arctangent formula that is not binary, although this does not rule out a completely different scheme for digit-extraction algorithms in other bases.

A beautiful example of a BBP-type formula in a non-integer base is

pi^2=50sum_(k=0)^infty1/(phi^(5k))[(phi^(-2))/((5k+1)^2)-(phi^(-1))/((5k+2)^2)-(phi^(-2))/((5k+3)^2)+(phi^(-5))/((5k+4)^2)+(2phi^(-5))/((5k+5)^2)],

(34)

where phi is the golden ratio, found by B. Cloitre (Cloitre; Borwein and Chamberland 2005; Bailey et al. 2007, p. 277).

REFERENCES:

Adamchik, V. and Wagon, S. "A Simple Formula for pi." Amer. Math. Monthly 104, 852-855, 1997.

Adamchik, V. and Wagon, S. "Pi: A 2000-Year Search Changes Direction." http://www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/pi.htm.

Bailey, D. H. "A Compendium of BBP-Type Formulas for Mathematical Constants." 28 Nov 2000. http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/bbp-formulas.pdf.

Bailey, D. H. and Borwein, J. M. "Experimental Mathematics: Examples, Methods, and Implications." Not. Amer. Math. Soc. 52, 502-514, 2005.

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 31-33 and 222, 2007.

Bailey, D. H.; Borwein, P. B.; and Plouffe, S. "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants." Math. Comput. 66, 903-913, 1997.

Borwein, J. and Bailey, D. "Other BBP-Type Formulas" and "Does Pi Have a Nonbinary BBP Formula?" §3.6 and 3.7 in Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 127-133, 2003.

Borwein, J. M.; Borwein, D.; and Galway, W. F. "Finding and Excluding b-ary Machin-Type Individual Digit Formulae." Canad. J. Math. 56, 897-925, 2004.

Borwein, J. M. and Chamberland, M. "A Golden Example." Unpublished manuscript. Feb. 7, 2005.

Cloitre, B. "A BBP Formula for pi^2 in Golden Base." Unpublished manuscript. Undated.

Finch, S. R. "Archimedes' Constant." §1.4 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 17-28, 2003.

Gourévitch, B. "L'univers de pi. §6: Formules BBP en base 2: s in N, v=p/q, x=1/(2^n) dans Psi." http://www.pi314.net/hypergse6.php.

Plouffe, S. "The Story Behind a Formula for Pi." sci.math and sci.math.symbolic newsgroup posting. 23 Jun 2003.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.





الأخبار الصحية
"عادة ليلية" قد تكون المفتاح للوقاية من الخرف
التاريخ / 2024-11-26

الأخبار العلمية
ممتص الصدمات: طريقة عمله وأهميته وأبرز علامات تلفه
التاريخ / 2024-11-26

الساحة الاسلامية
المجمع العلمي للقرآن الكريم يقيم جلسة حوارية لطلبة جامعة الكوفة
التاريخ / 2024-11-27