المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر


Lévy Constant  
  
1696   03:10 مساءً   date: 31-1-2020
Author : Corless, R. M
Book or Source : "Continued Fractions and Chaos." Amer. Math. Monthly 99
Page and Part : ...


Read More
Date: 26-9-2020 1023
Date: 28-1-2021 710
Date: 19-10-2019 799

Lévy Constant

 

The nth root of the denominator B_n of the nth convergent A_n/B_n of a number x tends to a constant

lim_(n->infty)B_n^(1/n) = e^beta

(1)

= e^(pi^2/(12ln2))

(2)

= 3.275823...

(3)

(OEIS A086702) for all but a set of x of measure zero (Lévy 1936, Lehmer 1939), where

beta = (pi^2)/(12ln2)

(4)

= 1.1865691104...

(5)

Some care is needed in terminology and notation related to this constant. Most authors call e^beta "Lévy's constant" (e.g., Le Lionnais 1983, p. 51; Sloane) and some (S. Plouffe) call beta the "Khinchin-Lévy constant." Other authors refer to e^beta (e.g., Finch 2003, p. 60) or beta (e.g., Wu 2008) without specifically naming the expression in question.

Taking the multiplicative inverse of beta gives another related constant,

beta^(-1) = (12ln2)/(pi^2)

(6)

= 0.8427659...

(7)

(OEIS A089729).

Corless (1992) showed that

 beta=1/2int_0^1(lnx^(-1))/((x+1)ln2)dx,

(8)

with an analogous formula for Khinchin's constant.

The Lévy Constant e^beta is related to Lochs' constant L by

 beta=(ln10)/(2L)

(9)

or

 e^beta=10^(1/(2L)).

(10)

Khinchin-LevyConstant

The plot above shows B_n^(1/n) for the first 500 terms in the continued fractions of pisin1, the Euler-Mascheroni constant gamma, and the Copeland-Erdős constant C. Interestingly, the shape of the curves is almost identical to the corresponding curves for Khinchin's constant


REFERENCES:

Corless, R. M. "Continued Fractions and Chaos." Amer. Math. Monthly 99, 203-215, 1992.

Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 60 and 156, 2003.

Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 51, 1983.

Lehmer, D. H. "Note on an Absolute Constant of Khintchine." Amer. Math. Monthly 46, 148-152, 1939.

Lévy, P. "Sur le développement en fraction continue d'un nombre choisi au hasard." Compositio Math. 3, 286-303, 1936. Reprinted in Œuvres de Paul Lévy, Vol. 6. Paris: Gauthier-Villars, pp. 285-302, 1980.

Rockett, A. M. and Szüsz, P. "The Khintchine-Lévy Theorem for RadicalBox[{B, _, n}, n]." §5.9 in Continued Fractions. New York: World Scientific, pp. 163-166, 1992.

Sloane, N. J. A. Sequences A086702 and A089729 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Wu. J. "An Iterated Logarithm Law Related to Decimal and Continued Fraction Expansions." Monatsh. f. Math. 153, 83-87, 2008.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.