تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Klein,s Absolute Invariant
المؤلف:
Cohn, H
المصدر:
Introduction to the Construction of Class Fields. New York: Dover
الجزء والصفحة:
...
24-12-2019
1923
+
-
20
Klein's Absolute Invariant
 |
 |
Let 
and 
be periods of a doubly periodic function, with 
the half-period ratio a number with ![I[tau]!=0](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/KleinsAbsoluteInvariant/Inline4.gif)
. Then Klein's absolute invariant (also called Klein's modular function) is defined as
 |
(1) |
where 
and 
are the invariants of the Weierstrass elliptic function with modular discriminant
 |
(2) |
(Klein 1877). If 
, where 
is the upper half-plane, then
 |
(3) |
is a function of the ratio 
only, as are 
, 
, and 
. Furthermore, 
, 
, 
, and 
are analytic in 
(Apostol 1997, p. 15).
Klein's absolute invariant is implemented in the Wolfram Language as KleinInvariantJ[tau].
The function 
is the same as the j-function, modulo a constant multiplicative factor.
Every rational function of 
is a modular function, and every modular function can be expressed as a rational function of 
(Apostol 1997, p. 40).
Klein's invariant can be given explicitly by
 |
 |
![4/(27)([1-lambda(tau)+lambda^2(tau)]^3)/(lambda^2(tau)[1-lambda(tau)]^2)](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/KleinsAbsoluteInvariant/Inline23.gif) |
(4) |
 |
 |
![([E_4(tau)]^3)/([E_4(tau)]^3-[E_6(tau)^2])](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/KleinsAbsoluteInvariant/Inline26.gif) |
(5) |
(Klein 1878-1879, Cohn 1994), where 
is the elliptic lambda function
![lambda(tau)=[(theta_2(0,q))/(theta_3(0,q))]^4,](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/KleinsAbsoluteInvariant/NumberedEquation4.gif) |
(6) |
is a Jacobi theta function, the 
are Eisenstein series, and 
is the nome. Klein's invariant can also be simply expressed in terms of the five Weber functions 
, 
, 
, 
, and 
.
is invariant under a unimodular transformation, so
 |
(7) |
and 
is a modular function. 
takes on the special values
 |
 |
 |
(8) |
 |
 |
 |
(9) |
 |
 |
 |
(10) |
satisfies the functional equations
 |
 |
 |
(11) |
 |
 |
 |
(12) |
It satisfies a number of beautiful multiple-argument identities, including the duplication formula
 |
 |
 |
(13) |
 |
 |
 |
(14) |
with
 |
 |
![1/(64)[(eta(tau))/(eta(2tau))]^(24)](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/KleinsAbsoluteInvariant/Inline63.gif) |
(15) |
 |
 |
 |
(16) |
and 
the Dedekind eta function, the triplication formula
 |
 |
 |
(17) |
 |
 |
 |
(18) |
with
 |
 |
![1/(27)[(eta(tau))/(eta(3tau))]^(12)](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/KleinsAbsoluteInvariant/Inline76.gif) |
(19) |
 |
 |
 |
(20) |
and the quintuplication formula
 |
 |
 |
(21) |
 |
 |
 |
(22) |
with
 |
 |
![1/5[(eta(tau))/(eta(5tau))]^6](http://mathworld.wolfram.com/images/equations/KleinsAbsoluteInvariant/Inline88.gif) |
(23) |
 |
 |
 |
(24) |
Plotting the real or imaginary part of 
in the complex plane produces a beautiful fractal-like structure, illustrated above.
REFERENCES:
Apostol, T. M. "Klein's Modular Function 
," "Invariance of 
Under Unimodular Transformation," "The Fourier Expansions of 
and 
," "Special Values of 
," and "Modular Functions as Rational Functions of 
." §1.12-1.13, 1.15, and 2.5-2.6 in Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 15-18, 20-22, and 39-40, 1997.
Brezhnev, Y. V. "Uniformisation: On the Burnside Curve 
." 9 Dec 2001. http://arxiv.org/abs/math.CA/0111150.
Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 115 and 179, 1987.
Cohn, H. Introduction to the Construction of Class Fields. New York: Dover, p. 73, 1994.
Klein, F. "Sull' equazioni dell' Icosaedro nella risoluzione delle equazioni del quinto grado [per funzioni ellittiche]." Reale Istituto Lombardo, Rendiconto, Ser. 2 10, 1877.
Klein, F. "Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades." Math. Ann. 14, 111-172, 1878-1879.
Nesterenko, Yu. V. A Course on Algebraic Independence: Lectures at IHP 1999. Unpublished manuscript. 1999.
الاكثر قراءة في نظرية الاعداد
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
الآخبار الصحية
قسم الشؤون الفكرية يصدر كتاباً يوثق تاريخ السدانة في العتبة العباسية المقدسة
"المهمة".. إصدار قصصي يوثّق القصص الفائزة في مسابقة فتوى الدفاع المقدسة للقصة القصيرة
(نوافذ).. إصدار أدبي يوثق القصص الفائزة في مسابقة الإمام العسكري (عليه السلام)
