Although Bessel functions of the second kind are sometimes called Weber functions, Abramowitz and Stegun (1972) define a separate Weber function as

(1)

These function may also be written as

(2)

where  is a regularized hypergeometric function.

This function is implemented in the Wolfram Language as WeberE[nu, z] and is an analog of the Anger function.

Special values for real  include

			(3)
			(4)
			(5)
			(6)

where  is a Struve function.

Letting  be a root of unity, another set of Weber functions is defined as

			(7)
			(8)
			(9)
			(10)
			(11)

(Weber 1902, Atkin and Morain 1993), where  is the Dedekind eta function and  is the half-period ratio. These functions are related to the Ramanujan g- and G-functions and the elliptic lambda function.

The Weber functions satisfy the identities

			(12)
			(13)
			(14)
			(15)
			(16)
			(17)

(Weber 1902, Atkin and Morain 1993).

REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Anger and Weber Functions." §12.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 498-499, 1972.

Atkin, A. O. L. and Morain, F. "Elliptic Curves and Primality Proving." Math. Comput. 61, 29-68, 1993.

Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 68-69, 1987.

Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; and Brychkov, Yu. A. "The Anger Function  and Weber Function ." §1.5 in Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions. Newark, NJ: Gordon and Breach, p. 28, 1990.

Weber, H. Lehrbuch der Algebra, Vols. I-II. New York: Chelsea, pp. 113-114, 1902.

Weng, A. "Class Polynomials of CM-Fields. http://www.exp-math.uni-essen.de/zahlentheorie/classpol/class.html.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمع العلمي يواصل إقامة مسابقة الثقلين القرآنية لطلبة مدارس كربلاء

عضو مجلس إدارة العتبة العباسية المقدسة يطلع على آليات تطوير البرامج التعليمية في مجموعة العميد

مجموعة مناحل الكفيل تختتم مشاركتها في معرض السليمانية الدولي للزراعة والصناعات الغذائية

لتوثيق التراث العلمي.. وفد قسم شؤون المعارف يلتقي عددًا من أعلام مدينة النجف

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد