The -binomial coefficient is a q-analog for the binomial coefficient, also called a Gaussian coefficient or a Gaussian polynomial. A -binomial coefficient is given by

(1)

where

(2)

is a q-series (Koepf 1998, p. 26). For ,

(3)

where  is a q-factorial (Koepf 1998, p. 30). The -binomial coefficient can also be defined in terms of the q-brackets  by

{product_(i=1)^(k)([n-i+1]_q)/([i]_q) for 0<=k<=n; 0 otherwise. " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/NumberedEquation4.gif" style="height:72px; width:229px" />

(4)

The -binomial is implemented in the Wolfram Language as QBinomial[n, m, q].

For , the -binomial coefficients turn into the usual binomial coefficient.

The special case

(5)

is sometimes known as the q-bracket.

The -binomial coefficient satisfies the recurrence equation

(6)

for all  and , so every -binomial coefficient is a polynomial in . The first few -binomial coefficients are

			(7)
			(8)
			(9)
			(10)

From the definition, it follows that

(11)

Additional identities include

			(12)
			(13)

The -binomial coefficient  can be constructed by building all -subsets of {1,2,...,n}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline37.gif" style="height:14px; width:69px" />, summing the elements of each subset, and taking the sum

(14)

over all subset-sums  (Kac and Cheung 2001, p. 19).

The -binomial coefficient  can also be interpreted as a polynomial in  whose coefficient  counts the number of distinct partitions of  elements which fit inside an  rectangle. For example, the partitions of 1, 2, 3, and 4 are given in the following table.

	partitions
0	{}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline46.gif" style="height:14px; width:10px" />
1	{{1}}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline47.gif" style="height:14px; width:27px" />
2	{{2},{1,1}}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline48.gif" style="height:14px; width:67px" />
3	{{3},{2,1},{1,1,1}}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline49.gif" style="height:14px; width:122px" />
4	{{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1}}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline50.gif" style="height:14px; width:232px" />

Of these, {}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline51.gif" style="height:14px; width:10px" />, {1}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline52.gif" style="height:14px; width:17px" />, {2}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline53.gif" style="height:14px; width:17px" />, {1,1}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline54.gif" style="height:14px; width:32px" />, {2,1}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline55.gif" style="height:14px; width:32px" />, and {2,2}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/q-BinomialCoefficient/Inline56.gif" style="height:14px; width:32px" /> fit inside a  box. The counts of these having 0, 1, 2, 3, and 4 elements are 1, 1, 2, 1, and 1, so the (4, 2)-binomial coefficient is given by

(15)

as above.

REFERENCES:

Gasper, G. and Rahman, M. Basic Hypergeometric Series. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

Kac, V. Cheung, P. Quantum Calculus. New York:Springer-Verlag, 2001.

Koekoek, R. and Swarttouw, R. F. "The q-Gamma Function and the q-Binomial Coefficient." §0.3 in The Askey-Scheme of Hypergeometric Orthogonal Polynomials and its q-Analogue. Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17, pp. 10-11, 1998.

Koepf, W. Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, p. 26, 1998.a

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

عباس.. طفل فقد والده فوجد في خدمة زائري عاشوراء وطنًا آمنًا

شعبة الخطابة النسوية تواصل إقامة مجالس العزاء في شهر المحرم الحرام

لليوم الخامس.. العتبة العباسية المقدسة تقيم مجلس عزاء في صحن مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

قسم الشؤون الفكرية يقيم مجلس عزاء حسيني في العاصمة التنزانية دار السلام

المزيد

الآخبار الصحية

لمن تجاوز الستين.. عليك بشرب 4 أكواب من القهوة يوميا ؟

الحليب مع العسل.. مزيج يمنحك 7 فوائد صحية

لا تبالغ في التنظيف.. قليل من "الاتساخ" قد يحمي عائلتك

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

المزيد

الآخبار التكنلوجية

هل هاتفك مراقب؟.. 5 علامات خطيرة تكشف التجسس عليك

دبي تطلق أول رحلة تجريبية للتاكسي الجوي

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

المزيد