المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
غزوة الحديبية والهدنة بين النبي وقريش
2024-11-01
بعد الحديبية افتروا على النبي « صلى الله عليه وآله » أنه سحر
2024-11-01
المستغفرون بالاسحار
2024-11-01
المرابطة في انتظار الفرج
2024-11-01
النضوج الجنسي للماشية sexual maturity
2024-11-01
المخرجون من ديارهم في سبيل الله
2024-11-01

الرسالة الإعلامية الاقناعية- استمالات التهديد أو التخويف
20-8-2020
التباين الزمني للتساقط
3-1-2016
تفسير الآية (55-57) من سورة النور
13-8-2020
ميعاد زراعة الموز
2023-08-23
حقوق الزوج على زوجته
21-4-2016
How to make Fischer Projections
3-12-2019

Spheroidal Wave Function  
  
1674   03:29 مساءً   date: 25-7-2019
Author : Abramowitz, M. and Stegun, I. A.
Book or Source : "Spheroidal Wave Functions." Ch. 21 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York:...
Page and Part : ...


Read More
Date: 15-5-2019 1788
Date: 3-6-2019 1490
Date: 22-6-2019 2070

Spheroidal Wave Function

 

Stratton (1935), Chu and Stratton (1941), and Rhodes (1970) define the spheroidal functions as those solutions of the differential equation

(1)

that remain finite at the singular points eta=+/-1. The condition of finiteness restricts the admissible values of the parameter b_(alphan)(c) to a discrete set of eigenvalues indexed by n=0, 1, 2, ... (Rhodes 1970).

The radial solution R_(mn)(xi) in prolate spheroidal coordinates satisfies the differential equation

 d/(dxi)[(xi^2-1)d/(dxi)R_(mn)(xi)] 
 -(lambda_(mn)-c^2xi^2+(m^2)/(xi^2-1))R_(mn)(xi)=0

(2)

and the angular solution S_(mn)(eta) satisfies

 d/(deta)[(1-eta^2)d/(deta)S_(mn)(eta)] 
 +(lambda_(mn)-c^2eta^2-(m^2)/(1-eta^2))S_(mn)(eta)=0.

(3)

Note that the differential equations are identical, so the radial and angular wavefunctions satisfy the same differential equation over different ranges of the variable (Abramowitz and Stegun 1972, p. 753).

Angular spheroidal harmonics are implemented in the Wolfram Language as SpheroidalPS[nmgammax] and SpheroidalQS[nmgammax]; radial spheroidal harmonics are implemented as SpheroidalS1[nmgammax] and SpheroidalS2[nmgammax]; and eigenvalues are implemented as SpheroidalEigenvalue[nmgamma].

Spheroidal wave functions become elementary if gamma=npi/2 and m=1.

The angular wave functions have series expansions about gamma=0 given by

(4)

The radial wavefunctions have asymptotic behavior as z->infty given by

S_(nm)^((1))(z) ∼ 1/(gammaz)sin(gammaz-1/2npi)

(5)

S_(nm)^((2))(z) ∼ 1/(gammaz)cos(gammaz-1/2npi).

(6)

Whittaker and Watson (1990, p. 403) call

S_(mn)^((1)) = 2pi((n-m)!)/((n+m)!)P_n^m(ir)P_n^m(costheta)cos; sin(mphi)

(7)

S_(mn)^((2)) = 2pi((n-m)!)/((n+m)!)Q_n^m(ir)Q_n^m(costheta)cos; sin(mphi),

(8)

where P_l^m(x) is a Legendre polynomial and Q_l^m(x) is a Legendre function of the second kind the internal and external spheroidal wavefunctions. However, they are not true spheroidal wave functions in the usual sense of the word.


REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Spheroidal Wave Functions." Ch. 21 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 751-759, 1972.

Chu, L. J. and Stratton, J. A. "Elliptic and Spheroidal Wave Functions." J. Math. and Phys. 20, 259-309, 1941.

Falloon, P. "Homepage of the Spheroidal Wave Functions." http://www.physics.uwa.edu.au/~falloon/spheroidal/spheroidal.html.

Falloon, P. E.; Abbott, P. C.; and Wang, J. B. "Theory and Computation of the Spheroidal Wave Functions." 18 Dec 02. http://arxiv.org/abs/math-ph/0212051.

Falloon, P. E. Theory and Computation of Spheroidal Harmonics with General Arguments. Masters thesis. Perth, Australia: University of Western Australia, 2001. http://www.physics.uwa.edu.au/pub/Theses/2002/Falloon/Masters_Thesis.pdf.

Flammer, C. Spheroidal Wave Functions. Stanford, CA: Stanford University Press, 1957.

Meixner, J. and Schäfke, R. W. Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen. Berlin: Springer-Verlag, 1954.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 642-644, 1953.

Rhodes, D. R. "On the Spheroidal Functions." J. Res. Nat. Bur. Standards--B. Math. Sci. 74B, 187-209, Jul.-Sep. 1970.

Stratton, J. A. "Spheroidal Functions." Proc. Nat. Acad. Sci. 21, 51-56, 1935.

Stratton, J. A.; Morse, P. M; Chu, L. J.; and Hutner, R. A. Elliptic Cylinder and Spheroidal Wave Functions, including Tables of Separation Constants and Coefficients. New York: Wiley, 1941.

Stratton, J. A.; Morse, P. M.; Chu, L. J.; Little, J. D. C.; and Corbató, F. J. Spheroidal Wave Functions. New York: Wiley, 1956.

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.