المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
Stratification
2024-11-28
استخدامات الطاقة الشمسية Uses of Solar Radiation
2024-11-28
Integration of phonology and morphology
2024-11-28
تاريخ التنبؤ الجوي
2024-11-28
كمية الطاقة الشمسية الواصلة للأرض Solar Constant
2024-11-28
صفاء السماء Sky Clearance
2024-11-28


Confluent Hypergeometric Function of the Second Kind  
  
3565   05:28 مساءً   date: 10-6-2019
Author : Abramowitz, M. and Stegun, I. A.
Book or Source : "Confluent Hypergeometric Functions." Ch. 13 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New...
Page and Part : ...

Confluent Hypergeometric Function of the Second Kind

 The confluent hypergeometric function of the second kind gives the second linearly independent solution to the confluent hypergeometric differential equation. It is also known as the Kummer's function of the second kind, Tricomi function, or Gordon function. It is denoted U(a,b,z) and can be defined by

U(a,b,z) = picsc(pib)[(_1F^~_1(a;b;z))/(Gamma(a-b+1))-(z^(1-b)_1F^~_1(a-b+1;2-b;z))/(Gamma(a))]

(1)

= z^(-a)_2F_0(a,1+a-b;;-z^(-1)),

(2)

where _1F^~_1(a;b;z) is a regularized confluent hypergeometric function of the first kind, Gamma(z) is a gamma function, and _2F_0(a,b;;z) is a generalized hypergeometric function (which converges nowhere but exists as a formal power series; Abramowitz and Stegun 1972, p. 504).

It has an integral representation

 U(a,b,z)=1/(Gamma(a))int_0^inftye^(-zt)t^(a-1)(1+t)^(b-a-1)dt

(3)

for R[a],R[z]>0 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 505).

The confluent hypergeometric function of the second kind is implemented in the Wolfram Language as HypergeometricU[abz].

The Whittaker functions give an alternative form of the solution.

The function has a Maclaurin series

 U(a,b,z)=-((b+az)Gamma(-b))/(Gamma(1+a-b))+(z^(1-b)Gamma(b-1))/(Gamma(a))+...,

(4)

and asymptotic series

 U(a,b,z)∼(1/z)^a[1+a(b-a-1)z^(-1) 
 +1/2a(a+1)(a+b-1)(2+b-a)z^(-2)+...].

(5)

U(a,b,z) has derivative

 d/(dz)U(a,b,z)=-aU(a+1,b+1,z)

(6)

and indefinite integral

 intU(a,b,z)dz=(G_(2,3)^(2,2)(x|1,2-a; 1,2-b,0))/(Gamma(a)Gamma(a-b+1))+C,

(7)

where G_(p,q)^(m,n)(x|a_1,...,a_p; b_1,...,b_q) is a Meijer G-function and C is a constant of integration.

 


REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Confluent Hypergeometric Functions." Ch. 13 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 503-515, 1972.

Arfken, G. "Confluent Hypergeometric Functions." §13.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 753-758, 1985.

Buchholz, H. The Confluent Hypergeometric Function with Special Emphasis on its Applications. New York: Springer-Verlag, 1969.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 671-672, 1953.

Slater, L. J. "The Second Form of Solutions of Kummer's Equations." §1.3 in Confluent Hypergeometric Functions. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 5, 1960.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Tricomi Function U(a;c;x)." Ch. 48 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 471-477, 1987.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.