المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
مدى الرؤية Visibility
2024-11-28
Stratification
2024-11-28
استخدامات الطاقة الشمسية Uses of Solar Radiation
2024-11-28
Integration of phonology and morphology
2024-11-28
تاريخ التنبؤ الجوي
2024-11-28
كمية الطاقة الشمسية الواصلة للأرض Solar Constant
2024-11-28

دراسة الطيف الباريوني baryon spectroscopy
26-12-2017
أدوات الجزم
22-10-2014
تعريف المسح الاجتماعي
10-3-2022
شبكة عمل الوصيفات Chaperones في الصدمة الحرارية
22-1-2016
شكراً لك يا أم البنين (عليها ‌السلام)
6-9-2017
جمع وتخزين ثمار البندق
2023-11-08

Polygamma Function  
  
3078   11:47 صباحاً   date: 23-5-2019
Author : Abramowitz, M. and "Polygamma Functions." §6.4 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: DoverStegun, I. A.
Book or Source : "Polygamma Functions." §6.4 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover
Page and Part : ...


Read More
Date: 29-6-2019 1295
Date: 20-6-2019 1257
Date: 30-7-2019 1040

Polygamma Function

Polygamma

A special function mostly commonly denoted psi_n(z)psi^((n))(z), or F_n(z-1) which is given by the (n+1)st derivative of the logarithm of the gamma function Gamma(z) (or, depending on the definition, of the factorial z!). This is equivalent to the nth normal derivative of the logarithmic derivative of Gamma(z) (or z!) and, in the former case, to the nth normal derivative of the digamma function psi_0(z). Because of this ambiguity in definition, two different notations are sometimes (but not always) used, namely

psi_n(z) = (d^(n+1))/(dz^(n+1))ln[Gamma(z)]

(1)

=

(2)

=

(3)

which, for n>0 can be written as

psi_n(z) = (-1)^(n+1)n!sum_(k=0)^(infty)1/((z+k)^(n+1))

(4)

= (-1)^(n+1)n!zeta(n+1,z),

(5)

where zeta(a,z) is the Hurwitz zeta function.

The alternate notation

 F_n(z)=(d^(n+1))/(dz^(n+1))lnz!

(6)

is sometimes used, with the two notations connected by

 psi_n(z)=F_n(z-1).

(7)

Unfortunately, Morse and Feshbach (1953) adopt a notation no longer in standard use in which Morse and Feshbach's "psi_n(z)" is equal to psi_(n-1)(z) in the usual notation. Also note that the function psi_0(z) is equivalent to the digamma function Psi(z) and psi_1(z) is sometimes known as the trigamma function.

psi_n(z) is implemented in the Wolfram Language as PolyGamma[nz] for positive integer n. In fact, PolyGamma[nuz] is supported for all complex nu (Grossman 1976; Espinosa and Moll 2004).

The polygamma function obeys the recurrence relation

 psi_n(z+1)=psi_n(z)+(-1)^nn!z^(-n-1),

(8)

the reflection formula

 psi_n(1-z)+(-1)^(n+1)psi_n(z)=(-1)^npi(d^n)/(dz^n)cot(piz),

(9)

and the multiplication formula,

 psi_n(mz)=delta_(n0)lnm+1/(m^(n+1))sum_(k=0)^(m-1)psi_n(z+k/m),

(10)

where delta_(mn) is the Kronecker delta.

The polygamma function is related to the Riemann zeta function zeta(s) and the generalized harmonic numbers H_(z-1)^((n+1))by

 psi_n(z)=(-1)^(n+1)n![zeta(n+1)-H_(z-1)^((n+1))]

(11)

for n=1, 2, ..., and in terms of the Hurwitz zeta function zeta(s,a) as

 psi_n(z)=(-1)^(n+1)n!zeta(n+1,z).

(12)

The Euler-Mascheroni constant is a special value of the digamma function psi_0(x), with

gamma =

(13)

= -psi_0(1).

(14)

In general, special values for integral indices are given by

psi_n(1) = (-1)^(n+1)n!zeta(n+1)

(15)

psi_n(1/2) = (-1)^(n+1)n!(2^(n+1)-1)zeta(n+1),

(16)

giving the digamma function, trigamma function, and tetragamma function identities

psi_1(1/2) = 1/2pi^2

(17)

psi_1(1) = zeta(2)

(18)

= 1/6pi^2

(19)

psi_2(1) = -2zeta(3)

(20)

psi_3(1/2) = pi^4,

(21)

and so on.

The polygamma function can be expressed in terms of Clausen functions for rational arguments and integer indices. Special cases are given by

psi_1(1/3) = 2/3pi^2+3sqrt(3)Cl_2(2/3pi)

(22)

psi_1(2/3) = 2/3pi^2-3sqrt(3)Cl_2(2/3pi)

(23)

psi_1(1/4) = pi^2+8K

(24)

psi_1(3/4) = pi^2-8K

(25)

psi_2(1/2) = -14zeta(3)

(26)

psi_2(1/3) = -(4pi^3)/(3sqrt(3))-18Cl_3(0)+18Cl_3(2/3pi)

(27)

psi_2(2/3) = (4pi^3)/(3sqrt(3))-18Cl_3(0)+18Cl_3(2/3pi)

(28)

psi_2(1/4) = -2pi^3-56zeta(3)

(29)

psi_2(3/4) = 2pi^3-56zeta(3)

(30)

psi_2(1/6) = -182zeta(3)-4sqrt(3)pi^3

(31)

psi_2(5/6) = -182zeta(3)+4sqrt(3)pi^3

(32)

psi_3(1/3) = 8/3pi^4+162sqrt(3)Cl_4(2/3pi)

(33)

psi_3(2/3) = 8/3pi^4-162sqrt(3)Cl_4(2/3pi)

(34)

psi_3(1/4) = 8pi^4+768beta(4)

(35)

psi_3(3/4) = 8pi^4-768beta(4),

(36)

where K is Catalan's constant, zeta(z) is the Riemann zeta function, and beta(z) is the Dirichlet beta function.


 

REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Polygamma Functions." §6.4 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 260, 1972.

Adamchik, V. S. "Polygamma Functions of Negative Order." J. Comput. Appl. Math. 100, 191-199, 1999.

Arfken, G. "Digamma and Polygamma Functions." §10.2 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 549-555, 1985.

Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks: Part I. New York: Springer-Verlag, p. 163, 1985.

Davis, H. T. Tables of the Higher Mathematical Functions. Bloomington, IN: Principia Press, 1933.

Espinosa, O. and Moll, V. H. "A Generalized Polygamma Function." Integral Trans. Special Func. 15, 101-115, 2004.

Grossman, N. "Polygamma Functions of Arbitrary Order." SIAM J. Math. Anal. 7, 366-372, 1976.

Hansen, E. R. A Table of Series and Products. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1975.

Kölbig, K. S. "The Polygamma Function psi_k(x) for x=1/4 and x=3/4." J. Comp. Appl. Math. 75, 43-46, 1996.

Kölbig, K. S. "The Polygamma Function and the Derivatives of the Cotangent Function for Rational Arguments." Report CN/96/5. CERN Computing and Networks Division, 1996.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 422-424, 1953.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.