المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
هل يجوز للمكلف ان يستنيب غيره للجهاد
2024-11-30
جواز استيجار المشركين للجهاد
2024-11-30
معاونة المجاهدين
2024-11-30
السلطة التي كان في يدها إصدار الحكم، ونوع العقاب الذي كان يوقع
2024-11-30
طريقة المحاكمة
2024-11-30
كيف كان تأليف المحكمة وطبيعتها؟
2024-11-30

مولد و كنى والقاب الامام زين العابدين
9-04-2015
مسائل في النجاسة
6-12-2016
التنظيم العام للجرائد
13-6-2021
التهم والشبهات المثارة حول النبي نوح وحول أتباعه
12-5-2021
Heavy Element Synthesis
5-11-2016
استكشاف كوكب الزهرة
23-11-2016

Double Factorial  
  
3476   03:27 مساءً   date: 15-5-2019
Author : Arfken, G
Book or Source : Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press
Page and Part : ...


Read More
Date: 24-6-2019 1256
Date: 21-9-2019 1139
Date: 19-9-2018 1518

Double Factorial

 

The double factorial of a positive integer n is a generalization of the usual factorial n! defined by

 n!!={n·(n-2)...5·3·1   n>0 odd; n·(n-2)...6·4·2   n>0 even; 1   n=-1,0.

(1)

Note that -1!!=0!!=1, by definition (Arfken 1985, p. 547).

The origin of the notation n!! appears not to not be widely known and is not mentioned in Cajori (1993).

For n=0, 1, 2, ..., the first few values are 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, ... (OEIS A006882). The numbers of decimal digits in (10^n)!! for n=0, 1, ... are 1, 4, 80, 1285, 17831, 228289, 2782857, 32828532, ... (OEIS A114488).

The double factorial is implemented in the Wolfram Language as n!! or Factorial2[n].

The double factorial is a special case of the multifactorial.

The double factorial can be expressed in terms of the gamma function by

 Gamma(n+1/2)=((2n-1)!!)/(2^n)sqrt(pi)

(2)

(Arfken 1985, p. 548).

DoubleFactorial

The double factorial can also be extended to negative odd integers using the definition

(-2n-1)!! = ((-1)^n)/((2n-1)!!)

(3)

= ((-1)^n2^nn!)/((2n)!)

(4)

for n=0, 1, ... (Arfken 1985, p. 547).

DoubleFactorialReImAbs
 
 
  Min   Max    
  Re    
  Im      

Similarly, the double factorial can be extended to complex arguments as

 z!!=2^([1+2z-cos(piz)]/4)pi^([cos(piz)-1]/4)Gamma(1+1/2z).

(5)

There are many identities relating double factorials to factorials. Since

 (2n+1)!!2^nn! 
=[(2n+1)(2n-1)...1][2n][2(n-1)][2(n-2)]...2·1 
=[(2n+1)(2n-1)...1][2n(2n-2)(2n-4)...2] 
=(2n+1)(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)...2·1 
=(2n+1)!,

(6)

it follows that (2n+1)!!=((2n+1)!)/(2^nn!). For n=0, 1, ..., the first few values are 1, 3, 15, 105, 945, 10395, ... (OEIS A001147).

Also, since

(2n)!! = (2n)(2n-2)(2n-4)...2

(7)

= [2(n)][2(n-1)][2(n-2)]...2

(8)

= 2^nn!,

(9)

it follows that (2n)!!=2^nn!. For n=0, 1, ..., the first few values are 1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, ... (OEIS A000165).

Finally, since

 (2n-1)!!2^nn! 
=[(2n-1)(2n-3)...1][2n][2(n-1)][2(n-2)]...2(1) 
=(2n-1)(2n-3)...1][2n(2n-2)(2n-4)...2] 
=2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)...2(1) 
=(2n)!,

(10)

it follows that

 (2n-1)!!=((2n)!)/(2^nn!).

(11)

For n odd,

(n!)/(n!!) = (n(n-1)(n-2)...(1))/(n(n-2)(n-4)...(1))

(12)

= (n-1)(n-3)...(1)

(13)

= (n-1)!!.

(14)

For n even,

(n!)/(n!!) = (n(n-1)(n-2)...(2))/(n(n-2)(n-4)...(2))

(15)

= (n-1)(n-3)...(2)

(16)

= (n-1)!!.

(17)

Therefore, for any n,

 (n!)/(n!!)=(n-1)!!

(18)

 n!=n!!(n-1)!!.

(19)

The double factorial satisfies the beautiful series

sum_(n=0)^(infty)(x^(2n))/((2n)!!) = e^(x^2/2)

(20)

sum_(n=0)^(infty)(x^(2n+1))/((2n+1)!!) = sqrt(pi/2)erf(x/(sqrt(2)))e^(x^2/2)

(21)

sum_(n=0)^(infty)(x^n)/(n!!) = 1/2e^(x^2/2)[sqrt(2pi)erf(x/(sqrt(2)))+2].

(22)

The latter gives rhe sum of reciprocal double factorials in closed form as

sum_(n=0)^(infty)1/(n!!) = sqrt(e)[1+sqrt(pi/2)erf(1/2sqrt(2))]

(23)

= sqrt(e)[1/2sqrt(2)+gamma(1/2,1/2)]

(24)

= 3.0594074053425761445...

(25)

(OEIS A143280), where gamma(a,x) is a lower incomplete gamma function. This sum is a special case of the reciprocal multifactorial constant.

A closed-form sum due to Ramanujan is given by

 sum_(n=0)^infty(-1)^n[((2n-1)!!)/((2n)!!)]^3=[(Gamma(9/8))/(Gamma(5/4)Gamma(7/8))]^2

(26)

(Hardy 1999, p. 106). Whipple (1926) gives a generalization of this sum (Hardy 1999, pp. 111-112).


REFERENCES:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 544-545 and 547-548, 1985.

Cajori, F. A History of Mathematical Notations, Vol. 2. New York: Dover, 1993.

Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.

Meserve, B. E. "Double Factorials." Amer. Math. Monthly 55, 425-426, 1948.

Sloane, N. J. A. Sequences A000165/M1878, A001147/M3002, A006882/M0876, A114488, and A143280 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Whipple, F. J. W. "On Well-Poised Series, Generalised Hypergeometric Series Having Parameters in Pairs, Each Pair with the Same Sum." Proc. London Math. Soc. 24, 247-263, 1926.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.