المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
دين الله ولاية المهدي
2024-11-02
الميثاق على الانبياء الايمان والنصرة
2024-11-02
ما ادعى نبي قط الربوبية
2024-11-02
وقت العشاء
2024-11-02
نوافل شهر رمضان
2024-11-02
مواقيت الصلاة
2024-11-02


Gauss,s Constant  
  
1552   01:46 مساءً   date: 24-3-2019
Author : Borwein, J. M. and Borwein, P. B
Book or Source : Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley
Page and Part : ...


Read More
Date: 25-9-2019 1100
Date: 2-5-2019 1239
Date: 21-8-2018 1309

Gauss's Constant

 

The reciprocal of the arithmetic-geometric mean of 1 and sqrt(2),

G = 1/(M(1,sqrt(2)))

(1)

= 2/piint_0^11/(sqrt(1-x^4))dx

(2)

= 2/piint_0^(pi/2)(dtheta)/(sqrt(1+sin^2theta))

(3)

= (sqrt(2))/piK(1/(sqrt(2)))

(4)

= theta_4^2(e^(-pi))

(5)

= 1/((2pi)^(3/2))[Gamma(1/4)]^2

(6)

= 0.83462684167...

(7)

(OEIS A014549), where K(k) is the complete elliptic integral of the first kind, theta_4(q) is a Jacobi theta function, and Gamma(z) is the gamma function. This correspondence was first noticed by Gauss, and was the basis for his exploration of the lemniscate function (Borwein and Bailey 2003, pp. 13-15).

Two rapidly converging series for G are given by

G = [sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^ne^(-pin^2)]^2

(8)

= 2^(5/4)e^(-pi/3)[sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^ne^(-2pi(3n+1)n)]^2

(9)

(Finch 2003, p. 421).

Gauss's constant has continued fraction [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, ...] (OEIS A053002).

The inverse of Gauss's constant is given by

 M=1/G=1.1981402347355922074399...

(10)

(OEIS A053004; Finch 2003, p. 420; Borwein and Bailey 2003, p. 13), which has [1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, 1, ...] (OEIS A053003).

The value

 M/(sqrt(2))=0.847213...

(11)

(OEIS A097057) is sometimes called the ubiquitous constant (Spanier and Oldham 1987; Schroeder 1994; Finch 2003, p. 421), and

 M/2=0.599070...

(12)

(OEIS A076390) is sometimes called the second lemniscate constant (Finch 2003, p. 421).

Gauss's constants G and M are related to the lemniscate constant L by

L = piG

(13)

= pi/M

(14)

(Finch 2003, p. 420).


REFERENCES:

Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, p. 5, 1987.

Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.

Goldman, J. R. The Queen of Mathematics: An Historically Motivated Guide to Number Theory. Wellesley, MA: A K Peters, p. 92, 1997.

Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.

Gosper, R. W. "A Calculus of Series Rearrangements." In Algorithms and Complexity: New Directions and Recent Results. Proc. 1976 Carnegie-Mellon Conference (Ed. J. F. Traub). New York: Academic Press, pp. 121-151, 1976.

Lewanowicz, S. and Paszowski, S. "An Analytic Method for Convergence Acceleration of Certain Hypergeometric Series." Math. Comput. 64, 691-713, 1995.

Schroeder, M. "How Probable is Fermat's Last Theorem?" Math. Intell. 16, 19-20, 1994.

Sloane, N. J. A. Sequences A014549, A053002, A053003, A053004, A076390, and A097057 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Kelvin Functions." Ch. 55 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, 1987.

Todd, J. "The Lemniscate Constant." Comm. ACM 18, 14-19 and 462, 1975.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.