A branch cut is a curve (with ends possibly open, closed, or half-open) in the complex plane across which an analytic multivalued function is discontinuous. For convenience, branch cuts are often taken as lines or line segments. Branch cuts (even those consisting of curves) are also known as cut lines (Arfken 1985, p. 397), slits (Kahan 1987), or branch lines.

For example, consider the function  which maps each complex number  to a well-defined number . Its inverse function , on the other hand, maps, for example, the value  to . While a unique principal value can be chosen for such functions (in this case, the principal square root is the positive one), the choices cannot be made continuous over the whole complex plane. Instead, lines of discontinuity must occur. The most common approach for dealing with these discontinuities is the adoption of so-called branch cuts. In general, branch cuts are not unique, but are instead chosen by convention to give simple analytic properties (Kahan 1987). Some functions have a relatively simple branch cut structure, while branch cuts for other functions are extremely complicated.

An alternative to branch cuts for representing multivalued functions is the use of Riemann surfaces.

In addition to branch cuts, singularities known as branch points also exist. It should be noted, however, that the endpoints of branch cuts are not necessarily branch points.

Branch cuts do not arise for the single-valued trigonometric, hyperbolic, integer power, and exponential functions. However, their multivalued inverses do require branch cuts. The plots and table below summarize the branch cut structure of inverse trigonometric, inverse hyperbolic, noninteger power, and logarithmic functions adopted in the Wolfram Language.

function name	function	branch cut(s)
inverse cosecant
inverse cosine		and
inverse cotangent
inverse hyperbolic cosecant
inverse hyperbolic cosine
inverse hyperbolic cotangent
inverse hyperbolic secant		and
inverse hyperbolic sine		and
inverse hyperbolic tangent		and
inverse secant
inverse sine		and
inverse tangent		and
natural logarithm
power		for ;  for
square root

REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 79 and 86, 1972.

Ahlfors, L. V. Complex Analysis, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, p. 75, 1979.

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.

Bradford, R.; Corless, R. M.; Davenport, J. H.; Jeffrey, D. J.; and Watt, S. M. "Reasoning About the Elementary Functions of Complex Analysis." Ann. Math. Artificial Intell. 36, 303-318, 2002.

Bronshtein, I. N. and Semendyayev, K. A. Handbook of Mathematics, 3rd ed. New York: Springer-Verlag, 1997.

Dingle, A. and Fateman, R. J. "Branch Cuts in Computer Algebra." In Symbolic and Algebraic Computation (Ed. J. von zur Gathen and M. Giesbracht). New York: ACM Press, pp. 250-257, 1994.

Duffy, D. G. Transform Methods for Solving Partial Differential Equations, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 2004.

Felsen, L. B. and Marcuvitz, I. N. Radiation and Scattering of Waves. New York: IEEE Press, 1994.

Kahan, W. "Branch Cuts for Complex Elementary Functions, or Much Ado About Nothing's Sign Bit." In The State of the Art in Numerical Analysis: Proceedings of the Joint IMA/SIAM Conference on the State of the Art in Numerical Analysis Held at the UN (Ed. A. Iserles and M. J. D. Powell). New York: Clarendon Press, pp. 165-211, 1987.

Korn, G. A. and Korn, T. M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 1968.

Mahan, G. D. Applied Mathematics. New York: Kluwer, 2002.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 399-401, 1953.

Remmert, R. Funktionentheorie 1. Berlin: Springer-Verlag, 1992.

Remmert, R. Funktionentheorie 2. Berlin: Springer-Verlag, 1992.

Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, pp. 188-191, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم صناعة الشبابيك يستعرض أعماله للمشاركين في البرنامج المركزي الأسبوعي

جامعة الكفيل تنظم حملة للتبرع بالدم للأطفال المصابين بالثلاسيميا والأورام السرطانية

قسم الشؤون الفكرية يصدر العدد 55 من مجلة العميد المحكمة

المجمع العلمي يجري اختبار القبول للمتقدمين إلى دورة ربيع القرآن في كربلاء

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد