المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
غزوة الحديبية والهدنة بين النبي وقريش
2024-11-01
بعد الحديبية افتروا على النبي « صلى الله عليه وآله » أنه سحر
2024-11-01
المستغفرون بالاسحار
2024-11-01
المرابطة في انتظار الفرج
2024-11-01
النضوج الجنسي للماشية sexual maturity
2024-11-01
المخرجون من ديارهم في سبيل الله
2024-11-01

عالمية القرآن
2023-12-11
أشعار المشارقة في الحمام
11/12/2022
اسبـاب زيـادة الاهـتمـام بـإدارة الافـراد
2023-04-02
بعث الرسل للهداية والارشاد
3-08-2015
تبارز الأخوين
18-10-2015
فضل سورة الانشقاق وخواصها
30-04-2015

Jacobian  
  
3054   12:42 مساءً   date: 29-9-2018
Author : Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M
Book or Source : "Jacobian Determinant." §14.313 in Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press
Page and Part : ...


Read More
Date: 23-9-2019 1114
Date: 17-9-2019 1345
Date: 23-4-2019 1814

Jacobian 

Given a set y=f(x) of n equations in n variables x_1, ..., x_n, written explicitly as

 y=[f_1(x); f_2(x); |; f_n(x)],

(1)

or more explicitly as

 {y_1=f_1(x_1,...,x_n); |; y_n=f_n(x_1,...,x_n),

(2)

the Jacobian matrix, sometimes simply called "the Jacobian" (Simon and Blume 1994) is defined by

 J(x_1,...,x_n)=[(partialy_1)/(partialx_1) ... (partialy_1)/(partialx_n); | ... |; (partialy_n)/(partialx_1) ... (partialy_n)/(partialx_n)].

(3)

The determinant of J is the Jacobian determinant (confusingly, often called "the Jacobian" as well) and is denoted

 J=|(partial(y_1,...,y_n))/(partial(x_1,...,x_n))|.

(4)

The Jacobian matrix and determinant can be computed in the Wolfram Language using

  JacobianMatrix[f_List?VectorQ, x_List] :=
    Outer[D, f, x] /; Equal @@ (Dimensions /@ {f, x})
  JacobianDeterminant[f_List?VectorQ, x_List] :=
    Det[JacobianMatrix[f, x]] /;
      Equal @@ (Dimensions /@ {f, x})

Taking the differential

 dy=y_(x)dx

(5)

shows that J is the determinant of the matrix y_(x), and therefore gives the ratios of n-dimensional volumes (contents) in y and x,

 dy_1...dy_n=|(partial(y_1,...,y_n))/(partial(x_1,...,x_n))|dx_1...dx_n.

(6)

It therefore appears, for example, in the change of variables theorem.

The concept of the Jacobian can also be applied to n functions in more than n variables. For example, considering f(u,v,w)and g(u,v,w), the Jacobians

(partial(f,g))/(partial(u,v)) = |f_u f_v; g_u g_v|

(7)

(partial(f,g))/(partial(u,w)) = |f_u f_w; g_u g_w|

(8)

can be defined (Kaplan 1984, p. 99).

For the case of n=3 variables, the Jacobian takes the special form

 Jf(x_1,x_2,x_3)=|(partialy)/(partialx_1)·(partialy)/(partialx_2)×(partialy)/(partialx_3)|,

(9)

where a·b is the dot product and b×c is the cross product, which can be expanded to give

 |(partial(y_1,y_2,y_3))/(partial(x_1,x_2,x_3))|=|(partialy_1)/(partialx_1) (partialy_1)/(partialx_2) (partialy_1)/(partialx_3); (partialy_2)/(partialx_1) (partialy_2)/(partialx_2) (partialy_2)/(partialx_3); (partialy_3)/(partialx_1) (partialy_3)/(partialx_2) (partialy_3)/(partialx_3)|.

(10)

 


REFERENCES:

Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. "Jacobian Determinant." §14.313 in Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, pp. 1068-1069, 2000.

Kaplan, W. Advanced Calculus, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 98-99, 123, and 238-245, 1984.

Simon, C. P. and Blume, L. E. Mathematics for Economists. New York: W. W. Norton, 1994.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.