المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
غزوة الحديبية والهدنة بين النبي وقريش
2024-11-01
بعد الحديبية افتروا على النبي « صلى الله عليه وآله » أنه سحر
2024-11-01
المستغفرون بالاسحار
2024-11-01
المرابطة في انتظار الفرج
2024-11-01
النضوج الجنسي للماشية sexual maturity
2024-11-01
المخرجون من ديارهم في سبيل الله
2024-11-01


Improper Integral  
  
2329   04:48 مساءً   date: 21-8-2018
Author : Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S.
Book or Source : "Infinite and Improper Integrals." §1.104 in Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press
Page and Part : ...


Read More
Date: 15-6-2019 2653
Date: 28-8-2018 1382
Date: 12-10-2019 1826

Improper Integral

An improper integral is a definite integral that has either or both limits infinite or an integrand that approaches infinity at one or more points in the range of integration. Improper integrals cannot be computed using a normal Riemann integral.

For example, the integral

 int_1^inftyx^(-2)dx

(1)

is an improper integral. Some such integrals can sometimes be computed by replacing infinite limits with finite values

 int_1^yx^(-2)dx=1-1/y

(2)

and then taking the limit as y->infty,

int_1^inftyx^(-2)dx = lim_(y->infty)int_1^yx^(-2)dx

(3)

= lim_(y->infty)1-1/y

(4)

= 1.

(5)

Improper integrals of the form

 int_a^bf(x)dx

(6)

with one infinite limit and the other nonzero may also be expressed as finite integrals over transformed functions. If f(x) decreases at least as fast as 1/x^2, then let

t = 1/x

(7)

dt = -(dx)/(x^2)

(8)

dx = -x^2dt

(9)

= -(dt)/(t^2),

(10)

and

int_a^bf(x)dx = -int_(1/a)^(1/b)1/(t^2)f(1/t)dt

(11)

= int_(1/b)^(1/a)1/(t^2)f(1/t)dt.

(12)

If f(x) diverges as (x-a)^gamma for gamma in [0,1], let

x = t^(1/(1-gamma))+a

(13)

dx = 1/(1-gamma)t^((1/1-gamma)-1)dt

(14)

= 1/(1-gamma)t^([1-(1-gamma)]/(1-gamma))dt

(15)

= 1/(gamma-1)t^(gamma/(1-gamma))dt

(16)

t = (x-a)^(1-gamma),

(17)

and

 int_a^bf(x)dx=1/(1-gamma)=int_0^((b-a)^(1-gamma))t^(gamma/(1-gamma))f(t^(1/(1-gamma))+a)dt.

(18)

If f(x) diverges as (x+b)^gamma for gamma in [0,1], let

x = b-t^(1/(1-gamma))

(19)

dx = -1/(gamma-1)t^(gamma/(1-gamma))dt

(20)

t = (b-x)^(1-gamma),

(21)

and

int_a^bf(x)dx = 1/(1-gamma)

(22)

= int_0^((b-a)^(1-gamma))t^(gamma/(1-gamma))f(b-t^(1/(1-gamma)))dt.

(23)

If the integral diverges exponentially, then let

t = e^(-x)

(24)

dt = -e^(-x)dx

(25)

x = -lnt,

(26)

and

 int_a^inftyf(x)dx=int_0^(e^(-a))f(-lnt)(dt)/t.

(27)

 


REFERENCES:

Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "Infinite and Improper Integrals." §1.104 in Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 33-34, 1988.

Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Improper Integrals." §4.4 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 135-140, 1992.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.