المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
غزوة الحديبية والهدنة بين النبي وقريش
2024-11-01
بعد الحديبية افتروا على النبي « صلى الله عليه وآله » أنه سحر
2024-11-01
المستغفرون بالاسحار
2024-11-01
المرابطة في انتظار الفرج
2024-11-01
النضوج الجنسي للماشية sexual maturity
2024-11-01
المخرجون من ديارهم في سبيل الله
2024-11-01


Heat Conduction Equation--Disk  
  
1058   02:53 مساءً   date: 13-7-2018
Author : Bowman, F
Book or Source : Introduction to Bessel Functions. New York: Dover, 1958.
Page and Part : ...


Read More
Date: 13-7-2018 1158
Date: 13-7-2018 1318
Date: 23-7-2018 3079

Heat Conduction Equation--Disk

 

To solve the heat conduction equation on a two-dimensional disk of radius a=1, try to separate the equation using

 U(r,theta,t)=R(r)Theta(theta)T(t).

(1)

Writing the theta and r terms of the Laplacian in cylindrical coordinates gives

 del ^2=(d^2R)/(dr^2)+1/r(dR)/(dr)+1/(r^2)(d^2Theta)/(dtheta^2),

(2)

so the heat conduction equation becomes

 (RTheta)/kappa(dT)/(dt)=(d^2R)/(dr^2)ThetaT+1/r(dR)/(dr)ThetaT+1/(r^2)(d^2Theta)/(dtheta^2)RT.

(3)

Multiplying through by r^2/RThetaT gives

 (r^2)/(kappaT)(dT)/(dt)=(r^2)/R(d^2R)/(dr^2)+r/R(dR)/(dr)+(d^2Theta)/(dtheta^2)1/Theta.

(4)

The theta term can be separated.

 (d^2Theta)/(dtheta^2)1/Theta=-n(n+1),

(5)

which has a solution

 Theta(theta)=Acos[sqrt(n(n+1))theta]+Bsin[sqrt(n(n+1))theta].

(6)

The remaining portion becomes

 (r^2)/(kappaT)(dT)/(dt)=(r^2)/R(d^2R)/(dr^2)+r/R(dR)/(dr)-n(n+1).

(7)

Dividing by r^2 gives

 1/(kappaT)(dT)/(dt)=1/R(d^2R)/(dr^2)+1/(rR)(dR)/(dr)-(n(n+1))/(r^2)=-1/(lambda^2),

(8)

where a negative separation constant has been chosen so that the t portion remains finite

 T(t)=Ce^(-kappat/lambda^2).

(9)

The radial portion then becomes

 1/R(d^2R)/(dr^2)+1/(rR)(dR)/(dr)-(n(n+1))/(r^2)+1/(lambda^2)=0

(10)

 r^2(d^2R)/(dr^2)+r(dR)/(dr)+[(r^2)/(lambda^2)-n(n+1)]R=0,

(11)

which is the spherical Bessel differential equation.

Consider disk or radius a with initial temperature U(r,0)=0 and the boundary condition U(a,t)=1. Then the solution is

 U(r,t)=1-2sum_(n=1)^infty(J_0((alpha_nr)/a))/(alpha_nJ_1(alpha_n))e^(-alpha_n^2kappat/a^2),

(12)

where alpha_n is the nth positive zero of the Bessel function of the first kind J_0(x) (Bowman 1958, pp. 37-39).


REFERENCES:

Bowman, F. Introduction to Bessel Functions. New York: Dover, 1958.

Carslaw, H. S. and Jaeger, J. C. "Some Two-Dimensional Problems in Conduction of Heat with Circular Symmetry." Proc. London Math. Soc. 46, 361-388, 1940.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.