Let  and  be real numbers (usually taken as  and ). The Dirichlet function is defined by

{c for x rational; d for x irrational " class="numberedequation" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DirichletFunction/NumberedEquation1.gif" style="border:0px none; height:41px; width:161px" />

(1)

and is discontinuous everywhere. The Dirichlet function can be written analytically as

(2)

Because the Dirichlet function cannot be plotted without producing a solid blend of lines, a modified version, sometimes itself known as the Dirichlet function (Bruckner et al. 2008), Thomae function (Beanland et al. 2009), or small Riemann function (Ballone 2010, p. 11), can be defined as

{0 for x irrational; 1/b for x=a/b a reduced fraction " class="numberedequation" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DirichletFunction/NumberedEquation3.gif" style="border:0px none; height:41px; width:275px" />

(3)

(Dixon 1991), illustrated above. This function is continuous at irrational  and discontinuous at rational  (although a small interval around an irrational point  contains infinitely many rational points, these rationals will have very large denominators). When viewed from a corner along the line  in normal perspective, a quadrant of Euclid's orchardturns into the modified Dirichlet function (Gosper).

REFERENCES:

Ballone, F. A. "On Volterra Spaces." Masters thesis, Youngstown State University, Jun. 2010.

Beanland, K.; Roberts, J. W.; and Stevenson, C. "Modifications of Thomae's Function and Differentiability." Amer. Math. Monthly116, 531-535, 2009.

Bruckner, A; Bruckner, J.; and Thomson, B. Elementary Real Analysis, 2nd ed.. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2008.

Dixon, R. Mathographics. New York: Dover, pp. 177 and 184-186, 1991.

Tall, D. "The Gradient of a Graph." Math. Teaching 111, 48-52, 1985.

Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, pp. 32-33, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

عباس.. طفل فقد والده فوجد في خدمة زائري عاشوراء وطنًا آمنًا

شعبة الخطابة النسوية تواصل إقامة مجالس العزاء في شهر المحرم الحرام

لليوم الخامس.. العتبة العباسية المقدسة تقيم مجلس عزاء في صحن مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

قسم الشؤون الفكرية يقيم مجلس عزاء حسيني في العاصمة التنزانية دار السلام

المزيد

الآخبار الصحية

لمن تجاوز الستين.. عليك بشرب 4 أكواب من القهوة يوميا ؟

الحليب مع العسل.. مزيج يمنحك 7 فوائد صحية

لا تبالغ في التنظيف.. قليل من "الاتساخ" قد يحمي عائلتك

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

المزيد

الآخبار التكنلوجية

هل هاتفك مراقب؟.. 5 علامات خطيرة تكشف التجسس عليك

دبي تطلق أول رحلة تجريبية للتاكسي الجوي

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

المزيد