x
هدف البحث
بحث في العناوين
بحث في اسماء الكتب
بحث في اسماء المؤلفين
اختر القسم
موافق
تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Lucas-Lehmer Test
المؤلف: Knuth, D. E.
المصدر: §4.5.4 in The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms. Reading, MA: Addison-Wesley, 1969.
الجزء والصفحة: ...
2-9-2020
1113
The Lucas-Lehmer test is an efficient deterministic primality test for determining if a Mersenne number is prime. Since it is known that Mersenne numbers can only be prime for prime subscripts, attention can be restricted to Mersenne numbers of the form , where is an odd prime.
Consider the recurrence equation
(1) |
with . For example, ignoring the congruence, the first few terms of this iteration are 4, 14, 194, 37634, 1416317954, ... (OEIS A003010).
It turns out that is prime iff , and the value is called the Lucas-Lehmer residue for .
For example, the sequence obtained for is given by 4, 14, 67, 42, 111, 0, so is prime.
For prime , the first few Lucas-Lehmer residues are 1, 0, 0, 0, 1736, 0, 0, 0, 6107895, 458738443, 0, 117093979072, ... (OEIS A095847).
This test can also be extended to arbitrary integers. Prior to the work of Pratt (1975), the Lucas-Lehmer test had been regarded purely as a heuristic that worked a lot of the time (Knuth 1969). Pratt (1975) showed that Lehmer's primality heuristic could be made a nondeterministic procedure by applying it recursively to the factors of , resulting in a certification of primality that has come to be known as the Pratt certificate.
A generalized version of the Lucas-Lehmer test lets
(2) |
with the distinct prime factors, and their respective powers. If there exists a Lucas sequence such that
(3) |
for , ..., and
(4) |
then is a prime. This reduces to the conventional Lucas-Lehmer test for Mersenne numbers.
REFERENCES:
Knuth, D. E. §4.5.4 in The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms. Reading, MA: Addison-Wesley, 1969.
Pratt, V. "Every Prime Has a Succinct Certificate." SIAM J. Comput. 4, 214-220, 1975.
Ribenboim, P. "Primality Tests Based on Lucas Sequences." §2.V in The Little Book of Bigger Primes, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, p. 63, 2004.
Sloane, N. J. A. Sequences A003010/M3494 and A095847 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."