المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر

Landau-Mignotte Bound
23-1-2019
Introduction to The Repair Systems
19-4-2021
حصاد البن
20-12-2019
مرض التهاب السرة الذي يصيب الدجاج
9-11-2016
The variable /ai/ in Irish English
2024-02-20
رنين باريوني baryon resonance
26-12-2017

Kolmogorov-Arnold-Moser Theorem  
  
884   04:36 مساءً   date: 31-8-2021
Author : Kolmogorov, A. N.
Book or Source : "On Conservation of Conditionally Periodic Motions for a Small Change in Hamilton,s Function." Dokl. Akad. Nauk SSSR 98
Page and Part : ...


Read More
Date: 13-10-2021 1814
Date: 28-8-2021 1509
Date: 21-12-2021 1035

Kolmogorov-Arnold-Moser Theorem

A theorem outlined by Kolmogorov (1954) which was subsequently proved in the 1960s by Arnol'd (1963) and Moser (1962; Tabor 1989, p. 105). It gives conditions under which chaos is restricted in extent. Moser's 1962 proof was valid for twist maps

= theta+2pif(I)+g(theta,I)

(1)

= I+f(theta,I).

(2)

Arnol'd (1963) produced a proof for Hamiltonian systems

 H=H_0(I)+epsilonH_1(I).

(3)

The original theorem required perturbations epsilon∼10^(-48), although this has since been significantly increased. Arnol'd's proof required C^infty, and Moser's original proof required C^(333). Subsequently, Moser's version has been reduced to C^6, then C^(2+epsilon), although counterexamples are known for C^2. Conditions for applicability of the KAM theorem are:

1. small perturbations,

2. smooth perturbations, and

3. sufficiently irrational map winding number.

Moser considered an integrable Hamiltonian function H_0 with a torus T_0 and set of frequencies omega having an incommensurate frequency vector omega^* (i.e., omega·k!=0 for all integers k_i). Let H_0 be perturbed by some periodic function H_1. The KAM theorem states that, if H_1 is small enough, then for almost every omega^* there exists an invariant torus T(omega^*) of the perturbed system such that T(omega^*) is "close to" T_0(omega^*). Moreover, the tori T(omega^*) form a set of positive measures whose complement has a measure which tends to zero as |H_1|->0. A useful paraphrase of the KAM theorem is, "For sufficiently small perturbation, almost all tori (excluding those with rational frequency vectors) are preserved." The theorem thus explicitly excludes tori with rationally related frequencies, that is, n-1 conditions of the form

 omega·k=0.

(4)

These tori are destroyed by the perturbation. For a system with two degrees of freedom, the condition of closed orbits is

 sigma=(omega_1)/(omega_2)=r/s.

(5)

For a quasiperiodic map orbit, sigma is irrational. KAM shows that the preserved tori satisfy the irrationality condition

 |(omega_1)/(omega_2)-r/s|>(K(epsilon))/(s^(2.5))

(6)

for all r and s, although not much is known about K(epsilon).

The KAM theorem broke the deadlock of the small divisor problem in classical perturbation theory, and provides the starting point for an understanding of the appearance of chaos. For a Hamiltonian system, the isoenergetic nondegeneracy condition

 |(partial^2H_0)/(partialI_jpartialI_j)|!=0

(7)

guarantees preservation of most invariant tori under small perturbations epsilon<<1. The Arnol'd version states that

 |sum_(k=1)^nm_komega_k|>K(epsilon)(sum_(k=1)^n|m_k|)^(-n-1)

(8)

for all m_k in Z. This condition is less restrictive than Moser's, so fewer points are excluded.


REFERENCES:

Arnol'd, V. I. "Proof of a Theorem of A. N. Kolmogorov on the Preservation of Conditionally Periodic Motions under a Small Perturbation of the Hamiltonian." Uspehi Mat. Nauk 18, 13-40, 1963.

Kolmogorov, A. N. "On Conservation of Conditionally Periodic Motions for a Small Change in Hamilton's Function." Dokl. Akad. Nauk SSSR 98, 527-530, 1954.

Moser, J. "On Invariant Curves of Area-Preserving Mappings of an Annulus." Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II, 1-20, 1962.

Tabor, M. Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics: An Introduction. New York: Wiley, 1989.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.