المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
{افان مات او قتل انقلبتم على اعقابكم}
2024-11-24
العبرة من السابقين
2024-11-24
تدارك الذنوب
2024-11-24
الإصرار على الذنب
2024-11-24
معنى قوله تعالى زين للناس حب الشهوات من النساء
2024-11-24
مسألتان في طلب المغفرة من الله
2024-11-24


Digitaddition  
  
642   05:21 مساءً   date: 10-11-2020
Author : Trott, M.
Book or Source : The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag
Page and Part : ...


Read More
Date: 14-9-2020 1320
Date: 13-8-2020 572
Date: 31-12-2019 898

Digitaddition

Start with an integer n, known as the digitaddition generator. Add the sum of the digitaddition generator's digits to obtain the digitaddition . A number can have more than one digitaddition generator. If a number has no digitaddition generator, it is called a self number. The sum of all numbers in a digitaddition series is given by the last term minus the first plus the sum of the digits of the last.

If the digitaddition process is performed on  to yield its digitaddition , on  to yield , etc., a single-digit number, known as the digital root of n, is eventually obtained. The digital roots of the first few integers are 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, ... (OEIS A010888).

If the process is generalized so that the kth (instead of first) powers of the digits of a number are repeatedly added, a periodic sequence of numbers is eventually obtained for any given starting number n. For example, the 2-digitaddition sequence for n=2 is given by 2, 2^2=44^2=161^2+6^2=373^2+7^2=585^2+8^2=898^2+9^2=145, and so on.

If the original number n is equal to the sum of the kth powers of its digits (i.e., the digitaddition sequence has length 2), n is called a Narcissistic number. If the original number is the smallest number in the eventually periodic sequence of numbers in the repeated k-digitadditions, it is called a recurring digital invariant. Both Narcissistic numbers and recurring digital invariants are relatively rare.

The only possible periods for repeated 2-digitadditions are 1 and 8, and the periods of the first few positive integers are 1, 8, 8, 8, 8, 8, 1, 8, 8, 1, ... (OEIS A031176). Similarly, the numbers that correspond to the beginning of the eventually periodic part of a 2-digitaddition sequence are given by 1, 4, 37, 4, 89, 89, 1, 89, 37, 1, 4, ... (OEIS A103369).

The possible periods p for n-digitadditions are summarized in the following table, together with digitadditions for the first few integers and the corresponding sequence numbers. Some periods do not show up for a long time. For example, a period-6 10-digitaddition does not occur until the number 266.

n OEIS ps n-digitadditions
2 A031176 1, 8 1, 8, 8, 8, 8, 8, 1, 8, 8, 1, ...
3 A031178 1, 2, 3 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, ...
4 A031182 1, 2, 7 1, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 1, 7, 1, 7, 7, ...
5 A031186 1, 2, 4, 6, 10, 12, 22, 28 1, 12, 22, 4, 10, 22, 28, 10, 22, 1, ...
6 A031195 1, 2, 3, 4, 10, 30 1, 10, 30, 30, 30, 10, 10, 10, 3, 1, 10, ...
7 A031200 1, 2, 3, 6, 12, 14, 21, 27, 30, 56, 92 1, 92, 14, 30, 92, 56, 6, 92, 56, 1, 92, 27, ...
8 A031211 1, 25, 154 1, 25, 154, 154, 154, 154, 25, 154, 154, 1, 25, 154, 154, 1, ...
9 A031212 1, 2, 3, 4, 8, 10, 19, 24, 28, 30, 80, 93 1, 30, 93, 1, 19, 80, 4, 30, 80, 1, 30, 93, 4, 10, ...
10 A031213 1, 6, 7, 17, 81, 123 1, 17, 123, 17, 17, 123, 123, 123, 123, 1, 17, 123, 17, ...

The numbers having period-1 2-digitaddition sequences are also called happy numbers, the first few of which are 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, ... (OEIS A007770).

The first few numbers having period p n-digitadditions are summarized in the following table.

n p OEIS members
2 1 A007770 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, ...
2 8 A031177 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, ...
3 1 A031179 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...
3 2 A031180 49, 94, 136, 163, 199, 244, 316, ...
3 3 A031181 4, 13, 16, 22, 25, 28, 31, 40, 46, ...
4 1 A031183 1, 10, 12, 17, 21, 46, 64, 71, 100, ...
4 2 A031184 66, 127, 172, 217, 228, 271, 282, ...
4 7 A031185 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14, ...
5 1 A031187 1, 10, 100, 145, 154, 247, 274, ...
5 2 A031188 133, 139, 193, 199, 226, 262, ...
5 4 A031189 4, 37, 40, 55, 73, 124, 142, ...
5 6 A031190 16, 61, 106, 160, 601, 610, 778, ...
5 10 A031191 5, 8, 17, 26, 35, 44, 47, 50, 53, ...
5 12 A031192 2, 11, 14, 20, 23, 29, 32, 38, 41, ...
5 22 A031193 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ...
5 28 A031194 7, 13, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 43, ...
6 1 A011557 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, ...
6 2 A031357 3468, 3486, 3648, 3684, 3846, ...
6 3 A031196 9, 13, 31, 37, 39, 49, 57, 73, 75, ...
6 4 A031197 255, 466, 525, 552, 646, 664, ...
6 10 A031198 2, 6, 7, 8, 11, 12, 14, 15, 17, 19, ...
6 30 A031199 3, 4, 5, 16, 18, 22, 29, 30, 33, ...
7 1 A031201 1, 10, 100, 1000, 1259, 1295, ...
7 2 A031202 22, 202, 220, 256, 265, 526, 562, ...
7 3 A031203 124, 142, 148, 184, 214, 241, 259, ...
7 6   7, 70, 700, 7000, 70000, 700000, ...
7 12 A031204 17, 26, 47, 59, 62, 71, 74, 77, 89, ...
7 14 A031205 3, 30, 111, 156, 165, 249, 294, ...
7 21 A031206 19, 34, 43, 91, 109, 127, 172, 190, ...
7 27 A031207 12, 18, 21, 24, 39, 42, 45, 54, 78, ...
7 30 A031208 4, 13, 16, 25, 28, 31, 37, 40, 46, ...
7 56 A031209 6, 9, 15, 27, 33, 36, 48, 51, 57, ...
7 92 A031210 2, 5, 8, 11, 14, 20, 23, 29, 32, 35, ...
8 1   1, 10, 14, 17, 29, 37, 41, 71, 73, ...
8 25   2, 7, 11, 15, 16, 20, 23, 27, 32, ...
8 154   3, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 18, 19, ...
9 1   1, 4, 10, 40, 100, 400, 1000, 1111, ...
9 2   127, 172, 217, 235, 253, 271, 325, ...
9 3   444, 4044, 4404, 4440, 4558, ...
9 4   7, 13, 31, 67, 70, 76, 103, 130, ...
9 8   22, 28, 34, 37, 43, 55, 58, 73, 79, ...
9 10   14, 38, 41, 44, 83, 104, 128, 140, ...
9 19   5, 26, 50, 62, 89, 98, 155, 206, ...
9 24   16, 61, 106, 160, 337, 373, 445, ...
9 28   19, 25, 46, 49, 52, 64, 91, 94, ...
9 30   2, 8, 11, 17, 20, 23, 29, 32, 35, ...
9 80   6, 9, 15, 18, 24, 33, 42, 48, 51, ...
9 93   3, 12, 21, 27, 30, 36, 39, 45, 54, ...
10 1 A011557 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, ...
10 6   266, 626, 662, 1159, 1195, 1519, ...
10 7   46, 58, 64, 85, 122, 123, 132, ...
10 17   2, 4, 5, 11, 13, 20, 31, 38, 40, ...
10 81   17, 18, 37, 71, 73, 81, 107, 108, ...
10 123   3, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 19, ...

REFERENCES:

Sloane, N. J. A. Sequences A007770, A011557, A011557, A031177, A031179, A031180, A031181, A031183, A031184, A031185, A031187, A031188, A031189, A031190, A031191, A031192, A031193, A031194, A031196, A031197, A031198, A031199, A031201, A031202, A031203, A031204, A031205, A031206, A031207, A031208, A031209, A031210, A031357, and A103369 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, p. 28, 2004. https://www.mathematicaguidebooks.org/.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.