المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
المستغفرون بالاسحار
2024-11-01
المرابطة في انتظار الفرج
2024-11-01
النضوج الجنسي للماشية sexual maturity
2024-11-01
المخرجون من ديارهم في سبيل الله
2024-11-01
المختلعة كيف يكون خلعها ؟
2024-11-01
المحكم والمتشابه
2024-11-01


Nielsen-Ramanujan Constants  
  
2426   01:57 مساءً   date: 23-8-2018
Author : Flajolet, P. and Salvy, B
Book or Source : "Euler Sums and Contour Integral Representation." Experim. Math. 7
Page and Part : ...


Read More
Date: 22-6-2019 1246
Date: 25-3-2019 2002
Date: 18-8-2018 2110

Nielsen-Ramanujan Constants

 

N. Nielsen (1909) and Ramanujan (Berndt 1985) considered the integrals

 a_k=int_1^2((lnx)^k)/(x-1)dx.

(1)

They found the values for k=1 and 2. The general constants for k>3 were found by Levin (1950) and, much later, independently by V. Adamchik (Finch 2003),

 a_p=p!zeta(p+1)-(p(ln2)^(p+1))/(p+1)-p!sum_(k=0)^(p-1)(Li_(p+1-k)(1/2)(ln2)^k)/(k!),

(2)

where zeta(z) is the Riemann zeta function and Li_n(x) is the polylogarithm. The first few values are

a_1 = 1/2zeta(2)=1/(12)pi^2

(3)

a_2 = 1/4zeta(3)

(4)

a_3 = 1/(15)pi^4+1/4pi^2(ln2)^2-1/4(ln2)^4-6Li_4(1/2)-(21)/4(ln2)zeta(3)

(5)

a_4 = 2/3pi^2(ln2)^3-4/5(ln2)^5-24(ln2)Li_4(1/2)-24Li_5(1/2)-(21)/2(ln2)^2zeta(3)+24zeta(5).

(6)

 


REFERENCES:

Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part I. New York: Springer-Verlag, 1985.

Borwein, J. M.; Bradley, D. M.; Broadhurst, D. J.; and Lisonek, P. "Special Values of Multidimensional Polylogarithms." Trans. Amer. Math. Soc. 353, 907-941, 2001.

Finch, S. R. "Apéry's Constant: Polylogarithms." §1.6.8 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 47-48, 2003.

Flajolet, P. and Salvy, B. "Euler Sums and Contour Integral Representation." Experim. Math. 7, 15-35, 1998.

Levin, V. I. "About a Problem of S. Ramanujan." Uspekhi Mat. Nauk 5, 161-166, 1950.

Nielsen, N. "Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen." Nova Acta Leopoldina, Abh. der Kaiserlich Leopoldinisch-Carolinischen Deutschen Akad. der Naturforsch. 90, 121-212, 1909.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.